Silové působení vodičů v drážkách na jejich izolaci

 

Nedávno mi byla položena otázka: Proč se neprovádí kontrola izolace vinutí v drážkách elektrických strojů na otlačení? Přiznávám, že jsem okamžitě na takovou otázku neuměl konkrétně odpovědět. Vzpomněl jsem si pouze na to, že ještě jako výpočtář elektrických strojů v ČKD Elektrotechnika jsem slyšel, že tyto síly jsou zanedbatelné a vysvětlení proč se najde v učebnici [1]. Nedalo mi to a celý problém jsem si důkladně nastudoval. Myslím, že výsledek může být pro mnohé zajímavý a poučný, a proto jsem ho zpracoval do tohoto článku.

Elektrický točivý stroj je vlastně elektromechanický měnič, který přeměňuje elektrický výkon na mechanický (elektromotor) nebo naopak (elektrický generátor). Mechanický moment na jeho hřídeli je výsledkem vzájemného působení elektromagnetických sil mezi statorem a rotorem tohoto měniče. Klasický stejnosměrný stroj má na rotoru a střídavý stroj na statoru vinutí uložené v drážkách magnetického obvodu, kterým protéká magnetický tok. Vinutí je tvořeno vhodně zapojenými vodiči, kterými protéká elektrický proud.

 

Lorenzův zákon o působení síly na vodič v magnetickém poli protékaný elektrickým proudem, říká:

 

F = B·l·i     (1)

 

kde

F (N) síla působící na vodič podle pravidla levé ruky, B (T) magnetická indukce, l (m) délka vodiče, i (A) proud protékající vodičem.

 

Pokud jsou vodiče uloženy v drážkách elektrického stroje, zdálo by se na první pohled zcela logické, že moment motoru na hřídeli je vytvořen silami, kterými působí vodiče v drážkách magnetického obvodu přes svoji izolaci na zuby magnetického obvodu. Izolace musí být tedy namáhána příslušným tlakem, a tím by mělo docházet k jejímu otlačování. Jak veliký je tlak od těchto sil?

 

Nikde jsem přímou odpověď na velikost tohoto tlaku nenašel, a tak jsem si udělal orientační výpočty pro několik konkrétních elektrických strojů, od kterých jsem měl k dispozici nejen jejich štítkové údaje, ale i potřebné údaje o rozměrech stroje, rozměrech drážek a rozměrech vodičů vinutí v drážkách. Při výpočtu jsem vycházel ze jmenovitého momentu stroje na hřídeli, vzdálenosti drážek od osy stroje, počtu drážek magnetického obvodu a rozměrů vodičů v drážce, tedy bez použití veličin ve vztahu (1). S údivem jsem zjistil, že tímto jednoduchým výpočtem vycházejí velice malé tlaky na izolaci vinutí, a to 10⁴ Pa, tj. řádově desetiny technické atmosféry nebo baru. I při zkratu na vinutí, kdy jsou zkratové proudy o jeden řád větší, budou tyto tlaky také o jeden řád větší a nejde tedy o žádná nebezpečná namáhání z hlediska mechanické pevnosti izolace na tlak.

 

 

Lorenzův zákon (1) říká, že síla, působící na vodič, je závislá na indukci B v místě vodiče. Jako bývalý výpočtář elektrických strojů vím, že magnetický tok protéká vzduchovou mezerou, kde je indukce B_δ o velikosti kolem 1 T, ale potom téměř celý tento magnetický tok vzduchovou mezerou dále protéká přes zuby magnetického obvodu. Vlastní drážkou s vinutím protéká pouze jeho velmi malá část. Je to způsobeno rozdílnou magnetickou vodivostí materiálu zubu a vzduchu. Jejich poměr se udává jako relativní permeabilita μ_r. Z toho ale vyplývá, že magnetická indukce v místě vodičů v drážce B_d je přibližně μ_r krát menší, než je indukce v zubech B_z. Ve všech učebnicích o elektrických strojích (viz např. [2]) se však ze vztahu (1) odvozují vztahy pro výpočet momentu elektrického stroje a vychází se přitom z indukce ve vzduchové mezeře B_δ. Jak je to tedy skutečně?

 

Pro odpověď musíme jít do základů teorie elektromagnetického pole, např. [3], [4]. V ní se pracuje s elektrickými náboji jako samostatnými realitami, které budí elektrické pole, jejichž pohyb v prostoru představuje elektrický proud, a tím je také zdrojem magnetického pole. Elektromagnetické pole pak obráceně působí na náboje tzv. ponderomotorickými silami. V této teorii se mimo jiné odvozuje, že na rozhraní dvou prostředí s různou elektrickou nebo magnetickou vodivostí se ponderomotorické síly snaží vtáhnout do oblasti se silnějším elektrickým nebo magnetickým polem nebo z ní vysunout dielektrika a magnetika, umístěná do elektromagnetického pole. Tyto síly souvisí s vnitřním přerozdělením nábojů a magnetických dipólů ve struktuře těles. Pro magnetické pole platí, že kolmo na rozhraní působící normálová složka této ponderomotorické síly má směr od prostředí s velkou relativní permeabilitou μ₁ do prostředí s menší relativní permeabilitou μ₂. Tlak od této síly f_P je roven:

 

(2)

 

Konkrétní vysvětlení a výpočet velikosti ponderomotorické síly vinutí v drážce elektrického stroje najdeme v českém vydání učebnice [1], kde kapitolu 3-10 Točivý moment stroje a elektromagnetické síly, které jej vytvářejí, zpracoval prof. Hamata. Tato kapitola je v porovnání s ruským originálem [3] podstatně upravena a rozšířena. Já ale zde použiji vysvětlení z [3], které zavádí určité zjednodušení, a tím je pro porozumění snazší.

 

Vlastní vysvětlení je vhodné udělat na případu stejnosměrného stroje, protože u něj jsou poměry nejnázornější. Samozřejmě, že závěry platí i pro ostatní elektrické stroje s vinutím v drážkách magnetického obvodu.

 

Na obr. 1 je zobrazen průběh magnetické indukce v drážce B_d0 v závislosti na hloubce drážky za předpokladu, že vinutím neprotéká proud. Z něj je vidět, že malá indukce B_d0 se směrem do drážky dále rychle zmenšuje.

 

Na obr. 2 je zobrazen průběh magnetické indukce v drážce B_di v závislosti na hloubce drážky pro případ, že vinutím protéká proud i a magnetický obvod není buzen. Zde je vidět, že malá indukce Bdi se směrem do drážky lineárně zmenšuje a siločáry magnetické indukce mají směr napříč drážkou.

 

Konečně, na obr. 3 je zobrazen směr siločar B_d v drážce pro případ, že magnetický obvod je buzen a vinutím protéká proud i, kde je vidět, že nyní mají siločáry magnetické indukce B_d převažující směr napříč drážkou.

 

Pokud je vzduchová mezera δ mezi vrcholy zubů rotoru a povrchem pólového nástavce malá, lze s dostatečnou přesností předpokládat, že celý budicí magnetický tok bude protékat přes zuby a tok drážkou je proti němu prakticky zanedbatelný. Potom B_δ = B_z0. Magnetomotorické napětí na jednotku délky zubu i drážky musí být stejné, a proto pro magnetickou indukci v zubu rotoru B_z0 platí (viz obr. 4):

 

B_z0 = μ₀· μ_r·H₀     (3)

 

a pro magnetickou indukci v drážce B_d0 podobně platí:

 

B_d0 = μ₀·H₀ = B_z0/μ_r     (4)

 

Vidíme, že magnetická indukce v drážce B_d0 je μ_r krát menší, než je magnetická indukce v zubu B_z0. Pro feromagnetické materiály má μ_r hodnotu 10² až 10⁵.

 

Pokud protéká vodiči v drážce sumární proud i, je magnetická indukce v sousedních zubech B_zL, B_zP různá, protože intenzita magnetického pole H_i, vytvořená proudem i, má v zubu nalevo od vodiče s proudem i opačný směr než v zubu napravo od vodiče s proudem i. V prvním přiblížení můžeme napsat vztah:

 

i ≈ 2·H_i·L_z     (5)

 

kde L_z je výška zubu. Odtud úpravou dostaneme:

 

H_i ≈ i/2L_z     (6)

 

Výsledkem je, že v zubu zprava od drážky je intenzita magnetického pole:

 

H_P = H₀ + H_i

 

a v zubu zleva od drážky je intenzita magnetického pole:

 

H_L = H₀ – H_i     (8)

 

V našem případě na zub s permeabilitou μ₁ = μ_r zprava od drážky s permeabilitou μ₂ = 1 bude působit síla F_P, kterou určíme s použitím (2):

 

(9)

 

kde l je délka drážky.

 

Podobně na zub zleva od drážky bude působit síla F_L v obráceném směru o velikosti:

 

(10)

 

Výsledná síla F_z působící na zuby potom bude:

 

(11)

 

Dosadíme-li do této rovnice za H_P a H_L z (7) a (8), dostaneme:

 

(12)

 

Konečně, po dosazení z (6) dostaneme výraz pro výslednou sílu F_z:

 

(13)

 

Z výše uvedeného také vyplývá, že síla F_d, která působí bezprostředně na vodič v drážce, je rovna:

 

F_d = μ₀·H₀·i·l     (14)

 

Celková výsledná síla F potom je:

 

F = F_z + F_d = μ₀·(μ_r – 1 + 1) ·H₀·i·l = μ₀·μ_r·H₀·i·l =B_δ·i·l     (15)

 

Tento vztah odpovídá běžně používanému výrazu pro výpočet elektromagnetického momentu elektrického stroje.

Výše provedené odvození dokazuje, že výsledná síla F je sice rovna známému vztahu (15), je však složena ze dvou složek síly, z nichž síla F_d, působící na vlastní vodič v drážce, je pouze 1/μ_r celkové síly F. Lze tedy zjednodušeně říci, že proud i sice protéká vodiči v drážkách, ale vlastní síla F působí na zuby magnetického obvodu, a to díky ponderomotorické síle.

[1] PETROV, G. N.: Elektrické stroje 2, Academia Praha 1982.

[2] BAŠTA, J.: Teorie elektrických strojů. Nakladatelství ČSAV 1957.

[3] VOTRUBA, V. – MUZIKÁŘ, Č.: Teorie elektromagnetického pole. Nakladatelství ČSAV 1955.

[4] HAGUE, B.: The principles of electromagnetism applied to electrical machines. 1929, 1962.

[5] PETROV, G. N.: Elektríčeskije mašíny 2. Eněrgija Moskva 1963.

 

 

Prof. Ing. Jiří Pavelka, DrSc., je absolventem ČVUT, Fakulty elektrotechnické, specializace elektroenergetika. Převážnou část svého pracovního života, téměř 30 let, strávil v ČKD Elektrotechnika. Zabýval se problematikou elektrických strojů, zejména budicími systémy synchronních strojů, elektrickými pohony a výkonovou elektronikou. V několika posledních letech se věnuje aktivním magnetickým ložiskům a pro tuto problematiku se stal zástupcem České republiky v ISO. V letech 1987 až 1990 působil jako vědecký pracovník v Ústavu pro elektrotechniku ČSAV. V roce 1991 přešel na ČVUT Praha, kde byl roku 1993 jmenován profesorem a v letech 1996 až 2002 vedl katedru elektrických strojů a pohonů na Elektrotechnické fakultě.