| Umíme správně spočítat solenoid s jádrem? Ing. Jan Růžička, konzultant v oblasti projektování, Ústí n/L Solenoid je otevřený magnetický obvod – válcová cívka se stejně hustými závity stejného kruhového tvaru po celé délce – vytvářející průchodem proudu magnetické pole se silovými účinky.
V průmyslu je používán např. solenoidový ventil – regulační pohon pro dvoupolohovou elektrickou regulaci (zapnutí proudu – poloha A, vypnutí proudu – poloha B). Solenoid je také základním principiálním prvkem elektromagnetického relé.
Homogenní magnetické pole se pro své vlastnosti (nezávislost vektorů indukce B a intenzity magnetického pole H na prostorových souřadnicích, tzn. B = konst. a H = konst. v celém vyšetřovaném prostoru) používá např. k cejchování měřicích přístrojů určených pro magnetická měření.
Takové pole by mohl vytvořit pouze teoreticky nekonečně dlouhý solenoid. Ve skutečnosti lze takové pole vytvořit např. Helmholtzovými cívkami nebo solenoidem reálné délky, pro nějž platí: průměr d/délka l << 1 (tzv. dlouhý solenoid).
Průmyslově používané solenoidy mají jádro z feromagnetického materiálu a buzené vinutí. Technické parametry solenoidem vytvářeného magnetického pole – intenzita magnetického pole Hi a indukce B – je mnohdy nutné navrhnout a spočítat. Umíme to však správně?
Odpověď na tuto poněkud provokativní otázku může být u různých osob různá. Faktem je, že i mezi odbornou veřejností se najde poměrně dost těch, kteří tento zdánlivě jednoduchý výpočet nezvládají. Nesprávný postup výpočtu je dokonce obsažen i v některých středoškolských učebnicích, a právě tato skutečnost byla hlavním impulsem pro napsání tohoto článku. Vymezení úlohy Cílem výpočtu je určení intenzity magnetického pole a indukce válcového feromagnetického jádra solenoidu v jeho těžišti. Vinutí se předpokládá jednovrstvé a těsné po celé délce jádra. Buzení je stejnosměrným proudem. Tento případ je schematicky zobrazen na obr. 2. Řešení Z obecného hlediska jde o otevřený (nejotevřenější) magnetický obvod. Typ obvodu je však poněkud jiný než u všeobecně známého obvodu toroidu s úzkou mezerou. Hlavní odlišnosti spočívají ve tvaru a velikosti vzduchové mezery a z ní vyplývajícího vztahu pro její magnetický odpor, který není tak triviální jako pro úzkou mezeru. Lze předpokládat, že bude kromě štíhlosti jádra záviset i na jeho permeabilitě. Analyticky se dosud nepodařilo příslušný vztah odvodit. Proto se ho badatelé snažili získat experimentálně. Toto úsilí bylo korunováno úspěchem zhruba v polovině minulého století.  Obr. 1. Principiální schéma solenoidu Výpočet každého otevřeného obvodu je nerozlučně spjat s fenoménem demagnetizace, která má ve většině případů na výsledek výpočtu rozhodující vliv. Nerespektování tohoto vlivu způsobuje, že takto vypočtené intenzity a indukce jsou často i o řád větší, než je realita. Demagnetizace Připomeňme, že jde o jev, který způsobuje zmenšení indukce ve zmagnetovaném feromagnetiku při vytvoření (nebo zvětšení) vzduchové mezery v obvodu. Rovněž intenzita magnetického pole uvnitř jádra bude výrazně menší než budicí. Bližší podrobnosti o tomto fenoménu lze nalézt např. na str. 394––395 v [1], nebo na str. 321–324 v[2]. Základní vztahy Pro odvození potřebných vztahů vyjděme ze základního obecně platného vztahu pro velikost intenzity pole uvnitř jádra, uvedeného na str. 395 v [1]: Hi = He – Hd (Hd = NM) (1) nebo Hi = He – NM (He = In/l) (2) kde Hd je demagnetizační intenzita (A·m–1), He budicí (vnější) intenzita (A·m–1), Hi intenzita uvnitř jádra (A·m–1), N demagnetizační faktor*), M magnetizace uvnitř jádra (A·m–1), I budicí proud (A), l délka jádra (m), n počet závitů vinutí. 
Obr. 2. Válcové feromagnetické jádro solenoidu Protože platí: J = µ0M (3) kde J je magnetická polarizace jádra (T), µ0 permeabilita vakua 1,257·10–6 (H·m–1), M magnetizace uvnitř jádra (A·m–1). Po dosazení přejde vztah (2) do tvaru: Hi = He – J(N/µ0) (4) nebo Hi = He – DJ (5) kde D je demagnetizační činitel N/µ0 (m·H–1). Vztah (5) je totožný se vztahem na str. 65 v [3], kde lze na obr. 49 nalézt pro výpočet nezbytnou funkční závislost: D = f(p, µr) (6) kde p je štíhlost jádra l/d, µr relativní permeabilita jádra.  Obr. 3. Závislost D = f(p, µr) v logaritmických souřadnicích Závislost (6) je zobrazena v logaritmických souřadnicích na obr. 3. Z průběhu je zřejmé, že u tyčí velké tloušťky (malá štíhlost) jsou hodnoty D velmi velké, a lze proto očekávat i výrazné snížení indukce a intenzity v jádru vlivem demagnetizace oproti hypotetickému, nekonečně štíhlému solenoidu, kde tento vliv zcela vymizí. V praxi je možné vliv demagnetizace zanedbat až při velkých štíhlostech, kdy je vhodné hovořit spíše o drátu než o tyči. Pro konečné použití je vhodné vztah (5) ještě upravit. Pro obvyklé budicí intenzity (He < 100 000 A·m–1) lze u většiny feromagnetik přibližně zavést rovnost: B = J (7) Rovnice (5) bude mít po dosazení (7) konečný tvar: Hi = He – DB (8) kde B je indukce v jádru (T). S touto indukcí přímo na křivce prvotní magnetizace nebo v horní větvi hysterezní smyčky koresponduje intenzita Hi. Numerické řešení Při daném solenoidu a budicí intenzitě se stanoví hodnoty B a Hi ze vztahu (8) iterací, obdobně jako při řešení obvodů pomocí weberampérové charakteristiky. Tento postup je popsán v příkladu 1. Příklad 1
Zadání:
Je dán solenoid s jádrem o průměru 36 mm a délce 200 mm. Jádro je zhotoveno z vyžíhané, magneticky měkké oceli a jeho křivka prvotní magnetizace je na obr. 4. Vinutí má 400 těsně navinutých závitů. Jádro dosud nebylo magnetováno. Vinutí bude připojeno k napěťovému zdroji, jenž v něm vyvolá proud 2 A. Vypočtěte He, Hi a B v těžišti jádra. Řešení:
Štíhlost: p = l/d = 200/36 = 5,56 Přibližná hodnota demagnetizačního činitele pro µr > 150 odečtením z obr. 3: D = 24 600. Budicí intenzita: He = 2 × 400/0,2 = 4 000 A·m–1. Po dosazení do rovnice (8) a její úpravě se dostane: Hi + 24 600B – 4 000 = 0 (9) Rovnici řešíme iteračně, tj. opakovanou volbou dvojic hodnot Hi, B z magnetizační křivky (viz tabulka). | Tabulka výsledků k příkladu 1 | | | B (T) | Hi (A·m–1) | Levá strana (9) | | 0,1 | 40 | –1 500 | | 0,2 | 80 | 1 000 | | Odtud přibližně: B = 0,16 T, Hi = 65 A·m–1. Grafické řešení
Rychleji, přesněji a názorněji je možné řešit tento příklad graficky, tj. bez iterace. Grafické řešení je založeno na skutečnosti, že demagnetizační přímka v obecném případě protíná osu intenzit v bodě daném budicí intenzitou He. Pouze ve zvláštním případě bezproudového stavu tato přímka prochází počátkem a lze ji při známé horní větvi hysterezní smyčky použít k řešení obvodů permanentních magnetů. Rovnice demagnetizační přímky úpravou (8): B = –(1/D)Hi + He/D (10) Směrnice přímky je –(1/D) a osu indukce protíná v bodě s hodnotou B0 = He/D. Řešení je patrné z obr. 4 a představuje ho průsečík S přímky 1 s křivkou prvotní magnetizace. Odečtením se získají shodné hodnoty jako z numerického řešení. Příklad 2
Na obr. 4 je znázorněno ještě řešení případu, jehož zadání se od předchozího liší pouze délkou jádra l = 900 mm, tj. štíhlostí p = 25 (při zachování stejného průměru, budicí intenzity i proudu). Tento příklad ukazuje výrazný nárůst hodnot B a Hi oproti předchozí „tlusté“ tyči. Pod osou H je rovněž zobrazen vzájemný vztah veličin He, Hi a Hd. Zároveň je zřejmé, že demagnetizační přímka bude kolmá k ose H pouze v případě hypotetického, nekonečně štíhlého solenoidu. Řešení:
Z grafu se přečte: B = 1,28 T, Hi = 600 A·m–1.  Obr. 4. Grafické řešení k příkladu 1 a 2 Příklad 3
Pro úplnost je v tomto příkladu ukázán postup, kdy je při daném solenoidu hledán proud, který v jádru vybudí zadanou indukci B. Zadání:
Hledá se budicí proud pro solenoid z příkladu 2 pro indukci v jádru B = 1,28 T. Řešení:
Pro B = 1,28 T se z magnetizační křivky odečte hodnota intenzity uvnitř jádra: Hi = 600 A·m–1. Pro p = 25 se z obr. 3 odečte hodnota demagnetizačního činitele: D = 2 650. Potřebná budicí intenzita: He = Hi + DB = 600 + 2 650 × 1,28 = 3 992 A·m–1. Hledaný budicí proud: I = Hel/n = 3 992 × 0,9/1 800 = 1,996 A. Poznámka: Nepřesnost ke správné hodnotě je pouze dvě promile! Řešení obecnějších obvodů Je zřejmé, že uvedeným grafickým způsobem lze řešit i všechny sériové magnetické obvody s konstantním průřezem a stejným materiálem všech částí obvodu, který obsahuje jednu nebo více velmi „úzkých„ vzduchových mezer**). Jejich typickými představiteli jsou „rozříznutý„ toroid (uzavřený prstenec) a magnet ve tvaru U s kotvou. Při řešení se postupuje již uvedeným způsobem pouze s tím rozdílem, že hodnota demagnetizačního činitele se vypočte ze vzorce: D = (ĺlv)/(µ0l) (11) kde ĺlv je součet tlouštěk všech vzduchových mezer v obvodu v (m), l délka střední indukční čáry ve feromagnetiku (m). Vliv předchozí magnetizace Jestliže jádro není „panenské“, ale bylo již dříve zmagnetováno, bude řešením úloh průsečík demagnetizační přímky s příslušnou větví hysterezní smyčky. Tyčový elektromagnet Zatímco jsou elektromagnety ve tvaru U nebo dvojitého U (nebo E) v odborné terminologii vnímány shodně a jednoznačně, u tyčového elektromagnetu je tomu jinak. Jde o pojem značně obsahově vágní. Neurčitost a nejednoznačnost se prohlubují při počítání jeho nosnosti. V literatuře se obvykle lze setkat se schematickým zobrazením podle obr. 5. Běžně jde o solenoid (popř. vícevrstvou cívku) navinutý na feromagnetickém jádru, které je jedním svým koncem připevněno k neferomagnetické základně. Na druhém konci je „přitaženo„ feromagnetické břemeno (kotva). U toho se předpokládá stejný materiál a stejný průřez jako u jádra. V případě válcové tyče se předpokládá, že je jeho délka rovna poloměru. Za nosnost takovéhoto tyčového elektromagnetu se považuje nejmenší axiální mechanická síla, která tuto kotvu dokáže od jádra odtrhnout. Samozřejmým předpokladem je dokonalá rovinnost styčných ploch.  Obr. 5. Tyčový elektromagnet Po takto vymezených pojmech lze nosnost vypočítat univerzálním vzorcem: F = 4·105B2S (N) (12) kde S je průřez jádra pd2/4 (m2), B indukce stanovená pomocí předchozí metody (T). Je vhodné poznamenat, že vztah (12) představuje pouze orientační hodnotu nosnosti. Prvním důvodem je, že tvar a intenzita pole závisejí na geometrii kotvy. Ta fiktivně „prodlužuje„ jádro, a tím zvětšuje štíhlost. Druhým důvodem je skutečnost, že pole v jádru není homogenní. Na koncích má jinou hodnotu než v těžišti. Pouze s uvedením všech těchto okolností v konkrétním případě má smysl hovořit o nosnosti tyčového elektromagnetu, popř. ji kvantifikovat. Literatura:
[1] FUKA – HAVELKA: Elektřina a magnetismus. 3., upravené vydání, SPN, 1979.
[2] KRUPKA – KALIVODA: Fyzika. SNTL, 1989.
[3] REINBOTH: Vlastnosti a použití magnetických materiálů. SNTL, 1975.
*) Demagnetizační faktor je číslo menší nebo rovné jedné, které určuje, jak se snižuje hodnota magnetické indukce. Je funkcí tvaru magnetu, permeability i jeho polohy v poli a určuje sklon pracovní přímky v grafu magnetizační (příp. hysterezní) křivky. Pokud se demagnetizační faktor rovná nule, nenastává žádná demagnetizace ( případ uzavřeného toroidu a nekonečně štíhlé tyče). | 
