Teplotní závislost odporu kovových vodičů

 

 

Existují odporové součástky, jejichž elektrický odpor je značně závislý na teplotě:

Teplotní závislost bude vysvětlena na jednoduchých příkladech s měděnými vodiči. Na základě výsledků mnoha uskutečněných pokusů a měření lze konstatovat, že se elektrický odpor kovů v určité teplotní oblasti chová přibližně lineárně. Tato teplotní oblast je zpravidla natolik velká (např. u zlata, stříbra a mědi je to –200 až +600 °C, u hliníku to –200 až +300 °C), že lze použitím lineární funkce pokrýt téměř všechny případy použití z praxe.

 

Pro obecnou teplotu Jve stupních celsia (°C) platí:

 

(1)

 

kde R₂₀ je odpor při teplotě 20 °C, R_J odpor při teplotě J, α20 teplotní součinitel.

 

Teplotní součinitel α₂₀ udává relativní změnu odporu při změně teploty o jeden stupeň Celsia (Kelvina) – u mědi je to asi 0,4 % na 1 °C (viz tabulka).

 

Na příkladech bude dále objasněn vliv zvýšení teploty okolí na odpor měděného vodiče.

 

Je znám odpor měděného vodiče při pokojové teplotě (J₂₀ = 20 °C) R₂₀ = 10 Ω. Jaký bude odpor tohoto vodiče při teplotě okolí J= 80 °C?

 

Hledá se tedy obecně odpor R_ϑ, tj. v tomto případě R₈₀. K jeho výpočtu se použije jednak tabulka pro určení teplotního součinitele α₂₀ mědi, jednak rovnice (1):

 

teplotní součinitel mědi (viz tabulka):

α₂₀ = 3,92·10^–3 (K^–1)

 

odpor při zvýšené teplotě podle (1):

R_ϑ = R₂₀[1 +α₂₀ (J –J₂₀)]

R₈₀ = 10[1 + 3,92·10^–3(80 – 20)]

R₈₀ = 12,352 Ω

 

Odpor měděného vodiče se oproti původní hodnotě zvýšil na 12,352 Ω, tj. téměř o 24 % (obr. 2).

 

Je znám odpor měděného vinutí transformátoru při pokojové teplotě (J₂₀ = 20 °C) R₂₀ = 6,8 Ω. Jaký bude odpor tohoto vinutí, ohřeje-li se v provozu na teplotu J= 100 °C?

 

teplotní součinitel mědi (viz tabulka):

α₂₀ = 3,92·10^–3 (K^–1)

 

odpor při zvýšené teplotě podle (1):

R_ϑ = R₂₀[1 + α₂₀ (J –J₂₀)]

R₈₀ = 6,8[1 + 3,92·10^–3(80 – 20)]

R₈₀ = 8,932 Ω

 

Odpor měděného vinutí transformátoru se oproti původní hodnotě zvýšil na 8,932 Ω, tj. přibližně 31,4 %.

 

Vliv zvýšené teploty na odpor kovových vodičů není, jak vyplývá z uvedených příkladů, v žádném případě zanedbatelný.

 

Pro ztrátový výkon Pz ohmického odporu R platí:

 

P_z = I²R (2)

 

Ztrátový výkon P_z je podle (2) za předpokladu konstantního proudu přímo úměrný velikosti odporu R. To znamená, že s rostoucí hodnotou odporu rostou také ztráty. Vzroste-li tedy odpor podle příkladu 2 o 31,4 %, zvýší se také ztráty o 31,4 %, a tím se sníží účinnost transformátoru.

 

Nyní je znám odpor při určité zvýšené teplotě Ja je třeba vypočítat odpor při pokojové teplotě J₂₀ = 20 °C. Na příkladu 3 bude objasněn postup tohoto výpočtu.

 

Nechť odpor měděného vodiče při teplotě J= 75 °C je R₇₅ = 1,8 Ω. Jaký bude odpor tohoto vodiče při teplotě okolí J₂₀ = 20 °C? Hledá se tedy odpor R₂₀.

 

teplotní součinitel mědi (viz tabulka):

α₂₀ = 3,92·10^–3 (K^–1)

 

Úpravou rovnice (1) lze obdržet tvar:

 

(3)

 

Odpor tohoto měděného vodiče při 20 °C je asi o 17, 78 % menší než při 75 °C.

 

V tomto případě je třeba vypočítat obecný odpor kovového vodiče R_ϑpři libovolné teplotě, není-li znám jeho odpor při teplotě 20 °C (J₂₀), nýbrž jen při tzv. výchozí teplotě J_v. Rovnice (1) bude mít po dosazení tento tvar:

 

R_v = R₂₀ [1 + α₂₀(J_v – J₂₀)] (4)

 

Při řešení této úlohy se použije matematická úprava, při které se do vzájemného poměru dají levé a pravé strany rovnice (1) a (4):

 

(5)

 

Z toho po vykrácení rovnice (5) R₂₀ a vynásobení obou stran R_v bude:

 

(6)

 

Dále se čitatel i jmenovatel pravé strany rovnice (6) rozšíří převráceným teplotním součinitelem 1/α₂₀:

 

(7)

 

Nyní se zavede substituce:

 

(8)

 

kde τ je teplotní parametr.

 

Po dosazení rovnice (8) do (7):

 

(9)

 

kde R_Jje hledaná hodnota odporu při teplotě J, R_v známý odpor při výchozí teplotě, τ teplotní parametr.

 

Po dosazení do (8) má teplotní parametr mědi hodnotu:

 

(10)

 

V zimě byl na měděném vinutí elektromotoru naměřen při J_v= –10 °C odpor R_v = 2,6 Ω. Jak velký bude odpor tohoto vinutí v letním provozu při teplotě J= 90 °C, tj. R₉₀, není-li znám jeho odpor při 20 °C?

 

Dosazením do (9):

 

τ = 235 K

 

Odpor měděného vinutí elektromotoru při teplotě 90 °C vzrostl na 3,76 Ω, tj. o 44,6 %.

 

Rovnici (9) lze upravit tak, aby bylo možné ze změny odporu vyvozovat změnu teploty. To umožní snadno stanovit střední hodnotu teploty vinutí elektromechanického měniče nebo jiného přístroje. Rovnice (9) se matematicky upraví na:

 

(11)

 

Je-Rli známa výchozí teplota J_v a odpor při této výchozí teplotě R_v, je možné na základě změřené hodnoty odporu R_ϑ(např. po určité době odstávky přístroje, kdy se projeví vliv teploty okolí) vypočítat po dosazení do rovnice (11) teplotu J.

 

 

Nechť má asynchronní motor před začátkem provozu při teplotě J_v = 18 °C odpor měděného statorového vinutí R_v = 0,38 Ω. Po určité době provozu se zátěží byl naměřen odpor tohoto vinutí R_ϑ= 0,51 Ω. Jaká bude střední teplota vinutí J?

 

K jejímu výpočtu se použije rovnice (11):

 

J= 104,6 °C

 

Vypočítaná teplota Jvychází vždy ve stupních Celsia. Představuje střední hodnotu, neboť teplota vinutí není všude stejná a na vinutí se tvoří tzv. horké body – tj. místa, kde teplota přesahuje vypočítanou střední hodnotu. Tato skutečnost je známa především ze zkušenosti a z výsledků jiných měření (např. termistorů ve vinutí). V každém případě však takto vypočítaná hodnota teploty Jpředstavuje pro provozovatele důležitý poznatek o tepelném chování kovových vodičů za různých provozních situací a často je používána i ve zkušebnách.