O jednom starém mýtu v elektromagnetismu aneb jak (ne)počítat solenoidy s feromagnetickým jádrem

 

V každé středoškolské učebnici fyziky nebo základů elektrotechniky se lze dozvědět, jak vypočítat intenzitu a indukci magnetického pole uprostřed válcové cívky – solenoidu. Pro velmi dlouhý (nebo spíše velmi štíhlý) solenoid bez jádra platí:

 

H = (n·I)/l     (A·m^–1; –, A, m)     (1a)

 

B = µ₀H = µ₀ (n·I)/l     (T; H·m^–1, A·m^–1)     (1b)

 

kde H je budicí intenzita, n celkový počet těsně vinutých závitů jednovrstvého vinutí, I ustálený stejnosměrný proud ve vinutí, l délka solenoidu nebo jeho jádra, B indukce v těžišti solenoidu, μ₀ permeabilita vakua (4π10^–7 H·m^–1).

 

Jako podmínka použitelnosti se obvykle uvádí (bez bližší kvantifikace) splnění ostré nerovnosti:

 

d<<l     (2)

 

kde d je vnitřní průměr vinutí nebo vnější průměr jádra.

 

Pro případ nesplnění nerovnosti (2) byly odvozeny obecnější vztahy (viz např. str. 217 v [2]). Vztahy (1) platí i pro toroid (prstencovou cívku) bez jádra za předpokladu, že délka l je délkou obvodu jeho střednice. Dále je popsáno, jak se změní poměry u těchto dvou základních druhů cívek v případě, že jejich vnitřní prostor je vyplněn jádrem z feromagnetického materiálu. U toroidu platí i pro tento případ vztah pro intenzitu podle (1a) a indukci pro tuto hodnotu odečteme přímo z magnetizační křivky materiálu jádra nebo vypočteme ze vztahu:

 

B = µ₀µ_rH = µ₀µ_r (n·I)/l     (T)     (3)

 

kde μ_r je relativní permeabilita jádra v případě, že je známa místo magnetizační křivky závislost relativní permeability na budicí intenzitě.

 

Zde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem. Pro velmi štíhlý solenoid s feromagnetickým jádrem platí rovněž vztah (3) a příslušný komentář. Na tomto místě je vhodné definovat a kvantifikovat zmiňovaný pojem štíhlost. Pro účely tohoto článku se štíhlostí solenoidu rozumí poměr délky a průměru jeho jádra.

 

Pro štíhlost platí:

 

p = l/d     (4)

 

Dlouho nezodpovězenou otázkou bylo, jak počítat solenoid s feromagnetickým jádrem s konečnou reálnou štíhlostí.

Mnoho autorů odborných knih (i vysokoškolských učebnic) se domnívalo, že v těchto případech lze s přijatelnou přesností pokračovat v analogii s toroidní cívkou. To znamenalo, že postup výpočtu byl opět podle vztahu (3) s tím, že za délku se dosadí přímo délka jádra. Domnívali se, že chyba ve výsledku bude i při běžných štíhlostech (přibližně p = 5) malá, analogicky, jako tomu je u solenoidů bez jádra.

 

Znění mýtu bychom mohli zformulovat zhruba takto:

 

Přestože se takovýto postup prezentuje v řadě středoškolských i vysokoškolských učebnic (viz numerické příklady např. v [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]), je třeba ho jednoznačně a kategoricky odmítnout jako principiálně nesprávný, hrubě zkreslující fyzikální podstatu problému a v praxi nepoužitelný!

V čem spočívá zmiňovaná principiální nesprávnost a proč nelze v analogii pokračovat? Je to v tom, že na rozdíl od toroidu, kde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem, u solenoidu nikoliv! Zde indukční čára kromě průchodu jádrem prochází ještě okolním prostředím – vzduchem. Ten klade magnetickému toku značný odpor, který nelze v reálném případě zanedbat a do výpočtu nezahrnout. Jde o podobný prohřešek jako zanedbat při výpočtu toroidu s úzkou mezerou tuto mezeru.

 

Důsledky na přesnost výpočtu (dá-li se ještě o nějaké hovořit) jsou fatální. Odchylky takto vypočítaných hodnot indukce od reálných (naměřených) jsou nesmírné. Např. u solenoidu s jádrem z měkké uhlíkaté oceli a s p = 5 činí tato odchylka asi jeden řád! Vypočtená hodnota indukce je tak asi desetkrát větší než naměřená! Do přímo obludných rozměrů vzroste nesoulad výpočtu s realitou, použijeme- li tuto indukci pro výpočet mechanické síly, např. nosnosti tyčového magnetu. Protože zde indukce vystupuje v druhé mocnině, získáme takto sílu, která je ve výše uvedeném případě asi stokrát větší než skutečná (viz př. 4.6.2 v [7] a [9]). I když se tento chybný postup ještě v současnosti prezentuje v odborných středoškolských učebnicích základů elektrotechniky (viz [7], [8]), je zjevné a experimentálně doložitelné, že takto „počítat“ nelze. Kromě výše uvedených přímých dopadů na výpočet indukce má tento nesprávný postup ještě následný dopad i na výpočet další velmi důležité veličiny – vlastní indukčnosti tohoto případu. I při těchto výpočtech se v učebnici [7] používá tento nesprávný postup.

 

Především je nutné si uvědomit, že budicí intenzita podle (1a) se zde neuplatňuje v plné hodnotě, ale je zmenšena o tzv. demagnetizační intenzitu H_d, která zahrnuje magnetický odpor okolního prostoru. Tak se získá nová výsledná intenzita, tzv. interní (vnitřní) intenzita H_i. Pro tuto intenzitu v jádru potom platí:

 

H_i = H – H_d     (5)

 

Pro tuto intenzitu lze z magnetizační křivky jádra odečíst příslušnou indukci B. Veličina H_d je funkcí permeability a štíhlosti jádra. Další podrobný postup výpočtu, včetně numerických příkladů, lze nalézt v [1]. Zejména zde uvedený grafický způsob je velmi názorný, a mohou ho proto snadno zvládnout i středoškolští studenti. Článek je k dispozici i v elektronické formě na webu časopisu Elektro 5/2006.

 

Historie tohoto mýtu je dlouhá a pozoruhodná. Je známo, že problematikou interakce vnějšího magnetického pole a vybuzeného pole ve feromagnetiku se zabýval již Maxwell ve svém slavném pojednání [12]. Analyticky vyřešil případ rotačního elipsoidu v homogenním magnetickém poli. Odvodil vztah pro demagnetizační faktor, veličiny nezbytné pro výpočet H_d. Pro průmyslové použití však bylo potřebnější znát demagnetizační faktor pro válcový tvar jádra. Analytické řešení nebylo možné, a proto se je mnoho badatelů pokoušelo stanovit na základě měření uskutečněných na vzorcích v laboratoři. První použitelné výsledky v tabelární a grafické formě byly publikovány ve dvacátých letech minulého století (viz [11] str. 47) a poslední asi v jeho polovině. Velmi dobře je tato problematika souhrnně popsaná v [10]. Proto je těžko pochopitelné, proč v době vydání výše kritizovaných učebnic, kdy podklady pro správný výpočet již byly k dispozici, došlo k tak velké jejich dezinterpretaci.

 

Nabízí se otázka, zda, resp. za jakých podmínek lze reálný solenoid s feromagnetickým jádrem počítat kritizovaným způsobem nebo co je vlastně „velmi dlouhý“ (nebo velmi štíhlý) solenoid?

 

Přesná odpověď není snadná a přesahuje rámec tohoto článku. Orientačně však lze říci, že při obvyklých budicích intenzitách (asi H < 10 000 A·m^–1) a při jádru z měkké uhlíkaté oceli a s přípustnou chybou hodnoty B uprostřed jádra pod 10 % musí být jeho štíhlost p > 500! V tomto případě se však charakter jádra mění z tyče na drát. Takové „cívky“ se však nepoužívají.

 

U malých štíhlostí je vliv permeability na výsledek zanedbatelný a určuje ho kromě budicí intenzity H pouze geometrie případu, tj. štíhlost p. Docházíme tak k obdobnému závěru jako u toroidu s mezerou, kde výsledek obvykle určuje převážně velikost mezery.

Ke skoncování s mýtem je především nutné ho přestat šířit v tištěné podobě v učebnicích i v mluvené, při výuce na školách.

[1] RŮŽIČKA J.: Umíme správně spočítat solenoid s jádrem? Elektro, 5/2006.

[2] SEDLÁK – ŠTOLL: Elektřina a magnetismus. Academia, 2002.

[3] FUKA – HAVELKA: Elektřina a magnetismus. SNP, 1965.

[4] FETTER: Přehled silnoproudé elektrotechniky. SNTL, 1957.

[5] MELUZÍN: Příklady a úlohy z elektrotechniky. Alfa, 1974.

[6] HAJACH a kol.: Základy elektrotechniky I. SNTL, 1985.

[7] BLAHOVEC: Elektrotechnika III. Informatorium, 2005.

[8] BLAHOVEC: Elektrotechnika I. Informatorium, 2005.

[9] BLAHOVEC: Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách. SNTL, 1989.

[10] REINBOTH: Vlastnosti a použití magnetických materiálů. SNTL, 1975.

[11] BROŽ: Základy magnetických měření. Nakladatelství ČSAV, 1953.

[12] MAXWELL: A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford Press, 1873.