Základy světelné techniky (3)

 

 

 

Zrak člověka není uzpůsoben k tomu, aby v mozkových centrech vidění vznikaly počitky reagující na souhrnné působení záření za určitou dobu. Pro proces vidění není proto důležitá energie vyzářená zdroji za určitý čas, ale rozhodující je výkon, tedy zářivý tok zdrojů a zejména jeho prostorové rozdělení. Při hodnocení kvality osvětlení se posuzuje, do jaké míry osvětlení napomáhá postupu přijetí a zpracování informace přinášené světlem a usnadňuje proces vidění a vznik zrakového vjemu. Proto se ve světelné technice neposuzují energetické veličiny (např. zářivý tok, zářivost apod.), ale pracuje se s fotometrickými pojmy a veličinami, které respektují různou citlivost oka pozorovatele na záření různých vlnových délek. Pro zajištění jednotnosti světelnětechnických výpočtů se počítá s hodnotami spektrální citlivosti oka tzv. normálního fotometrického pozorovatele.

 

Světelnětechnická veličina, která odpovídá zářivému toku a vyjadřuje schopnost zářivého toku způsobit zrakový počitek, resp. vjem, se nazývá světelný tok. Jednotkou světelného toku je lumen (lm). Světelný tok Φ monochromatického záření vlnové délky λ, jehož zářivý tok je Φ_e, se určí ze vztahu

 

Φ(λ) = K(λ) Φ_e(λ) = K_m V(λ) Φ_e(λ) (lm; lm·W–1, –, W)     (3.1)

 

Veličina K(λ) (lm·W^–1) je světelný účinek monochromatického záření rovný poměru světelného toku a jemu odpovídajícího zářivého toku. Většinou se veličina K(λ) vyjadřuje součinem maximální hodnoty Km spektrálního průběhu veličiny K(λ) a světelné účinnosti V(λ) monochromatického záření, tj. vztahem K(λ) = K_m V(λ)

 

kde je

V(λ) světelná účinnost monochromatického záření definovaná vztahem

 

V(λ) = K(λ)/K_m (–; lm·W^–1, lm·W^–1)     (3.2)

 

Z hlediska individuálního pozorovatele je veličina V(λ) totožná s poměrnou spektrální citlivostí zraku pozorovatele (obvykle normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém vidění).

 

V soustavě SI se jednotky světelnětechnických veličin odvozují od základní jednotky svítivosti (1 kandela), tj. od svítivosti zdroje záření o jediné frekvenci υ = 540·10¹² Hz, při zářivosti zdroje v daném směru 1/683 W·sr^–1 (wattů na steradián).

 

Zmíněná frekvence υ odpovídá ve standardním ovzduší tzv. základní vlnové délce λ_m

 

λ_m = c/v = 2,997 086 40·10⁸/540·10¹² = 555,015 5 nm ≈ 555 nm

 

kde c je rychlost světla v uvažovaném standardním prostředí (teplota 20 °C, relativní vlhkost 50 %, tlak 1 013,247 2 hPa, index lomu N = 1,000 279 668), která se stanovuje na základě známé rychlosti světla c₀ = 2,997 924 59·108 m·s–1 ve vakuu ze vztahu

 

c = c₀/N = 2,997 924 59/1,000 279 668 = 2,997 086 40·10⁸ m·s^–1     (3.4)

 

Mezinárodní orgány CIE a ISO v souladu s definicí kandely schválily, že maximum Km světelného účinku záření K(λ) odpovídající monofrekvenčnímu záření základní vlnové délky λ = λ_m = 555,015 5 nm dosahuje u normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém (denním) vidění hodnoty K_m = 683 lm·W^–1. Uvedená konstanta (K_m) představovala v dané době (v roce 1979) nejlepší odhad maxima světelného účinku záření pro fotopické vidění, který zachovával předchozí úrovně fotopické kandely. Jde o důležitou

konstantu, která spojuje fyzikální fotometrii a optickou radiometrii.

 

Z rovnice (3.1) lze ověřit, že monofrekvenčnímu zářivému toku Φ_e = 1 W o vlnové délce λ = 650 nm, kdy V(λ) = 0,107, odpovídá při fotopickém vidění světelný tok Φ = 683·1·0,107 = 73 lm, zatímco půjde-li o záření vlnové délky λ = 550 nm, kdy V(λ) = 0,995, je odpovídající světelný tok podstatně větší: Φ = 683·1·0,995 = 680 lm

 

Poznámka: Hodnoty funkce V(λ) lze zjistit např. z grafu na obr. 3.1.

 

Stejně jako byly pro fotopické vidění definovány veličiny V(λ) a K(λ), byly pro skotopické (noční) vidění stanoveny veličiny V´(λ) a K´(λ). Funkce standardní poměrné spektrální světelné účinnosti CIE V(λ) a V´(λ) byly oficiálně přijaty Mezinárodní komisí pro míry a váhy (CIMP) v letech 1972 a 1976.

 

Spektrální průběhy funkcí V(λ) a V´(λ), tj. poměrných spektrálních citlivostí zraku normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém a skotopickém vidění, jsou nakresleny na obr. 3.1. Podrobněji jsou funkce V(λ) a V´(λ) specifikovány v tabulkách, např. v normě ISO 23539 (2005) Photometry – The CIE system of physical photometry a ve stejně nazvané publikaci CIE S010 (2005).

 

Důležitým důsledkem definice kandely je, že pro záření základní vlnové délky 555,015 5 nm je světelný účinek záření, tj. také spektrální citlivost zraku normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém vidění K(555,015 5) i při skotopickém vidění K´(555,015 5), shodný a rovný 683 lm·W^–1, tzn. platí rovnice

 

K(555,015 5) = K´(555,015 5) = 683 lm·W^–1     (3.5)

 

Proto lze v těchto stavech vidění pracovat se světelnými toky udávanými v lumenech.

 

Při stanovování maximálních hodnot (K_m, K´_m) spektrálních průběhů světelných účinků záření K(λ) a K´(λ) se vychází z rovnice (3.2), z níž vyplývá pro záření libovolné vlnové délky λ (tedy i pro λ_m = 555,015 5 nm) obecný vztah

 

K_m = K(λ_m)/ V(λ_m) = K(555,0155)/V(555,0155) = 683/V(555,0155) = 683/ V(555)     (3.6)

 

Z výrazu (3.6) vyplývají po dosazení hledaná maxima, a to

 

K_m = 683/ V(555,0155) = 683/0,999 997 1 = 683,002 ≈ 683

– pro fotopické vidění lm·W^–1      (3.7)

 

K_m = 683/ V(555,0155) = 683/0,401 752 9 = 1 700,05 ≈ 1700

– pro skotopické vidění lm·W^–1     (3.8)

 

kde V(555,015 5) = 0,999 997 1 a V´(555,015 5) = 0,401 752 9 jsou hodnoty funkcí V(λ) a V´(λ) zjištěné z průběhů nakreslených na obr. 3.1, resp. interpolací v podrobných tabulkách těchto funkcí [viz např. publikace CIE S010 (2005)].

 

Mezi krajními případy fotopického vidění (adaptační jas asi 100 cd·m^–2) a skotopického vidění (adaptační jas menší než asi 0,001 cd·m^–2) se nachází oblast tzv. mezopického vidění, s nímž se lze v praxi běžně setkat např. ve veřejném osvětlení při osvětlování komunikací a v nouzovém osvětlení. Komplikovanost problému dokládá již sama skutečnost, že pro charakterizování každé situace v mezopické oblasti vidění (tj. pro každý adaptační jas) by bylo třeba stanovit danému případu odpovídající průběh poměrné spektrální citlivosti zraku pozorovatele, resp. poměrné světelné účinnosti záření, a teprve pak dělat potřebné světelnětechnické výpočty. Jednotný postup výpočtů a měření v oblasti mezopického vidění není doposud ani v rámci Mezinárodní komise pro osvětlování CIE vypracován.

 

Základní představu o změnách poměrné spektrální citlivosti zraku (resp. poměrné světelné účinnosti záření) v závislosti na adaptačním jasu zraku pozorovatele dávají grafy na obr. 3.1, kde jsou spolu s křivkami V(λ) a V´(λ) nakresleny také příklady průběhů poměrné spektrální citlivosti zraku v mezopické oblasti pro adaptační jasy L_a = 1 cd·m^–2 a 0,1 cd·m^–2.

 

Předpokládejme, že pro libovolný adaptační jas L_a zraku pozorovatele i v mezopické oblasti vidění je absolutní hodnota K˝(555) světelného účinku záření pro záření základní vlnové délky λ_m = 555 nm rovna hodnotě 683 lm·W^–1, tj. že platí vztah

 

K(555) = K´(555) = K˝(555) = 683 lm·W^–1

 

Pak lze pro každý zjištěný spektrální průběh poměrné světelné účinnosti V˝(λ) odpovídající konkrétnímu adaptačnímu jasu L_a stanovit maximální hodnotu K˝_m světelného účinku záření K˝(λ) z rovnice obdobné výrazu (3.8), tzn. ze vztahu

 

K˝_m = 683/ V˝ (555) (lm·W^–1; lm·W^–1, –)      (3.9)

 

Určete spektrální průběhy hodnot světelných účinků záření K˝(λ) pro zadané křivky poměrných světelných účinností V˝(λ), které odpovídají adaptačním jasům L_a = 1 cd·m^–2 a L_a = 0,1 cd·m^–2 a které jsou nakresleny na obr. 3.1.

 

Hledané světelné účinky záření K˝(λ) se pro záření jednotlivých vlnových délek λ stanoví jako součin maxima K˝_m světelného účinku záření a zadané světelné účinnosti V˝(λ) záření, tj. ze vztahu

 

K˝(λ) = K˝_m V˝(λ) (lm·W^–1; lm·W^–1, –)     (3.10)

 

Nejprve je třeba pro sledované průběhy V˝(λ) určit maximální hodnoty K˝_m světelných účinků záření s využitím rovnice (3.9):

1. ze zadané křivky V˝(λ) pro jas L_a = 1 cd·m^–2 na obr. 3.1 se zjistí, že:

a) funkce V˝(λ) dosahuje maximální hodnoty rovné 1 pro λ = 545 nm,

b) pro λ = 555 nm nabývá sledovaná funkce V˝(λ) hodnoty V˝(555) = 0,982 5.

 

Maximum K˝_m průběhu světelného účinku K˝(λ) záření, které odpovídá funkci V˝(λ) pro 1 cd·m^–2, se pak stanoví podle vztahu (3.9) z rovnice K˝_m = 683/0,982 5 = 695 lm·W^–1

 

2. zcela analogicky se z křivky V˝(λ) pro jas L_a = 0,1 cd·m^–2 nakreslené na obr. 3.1 určí, že:

a) funkce V˝(λ) dosahuje maxima (= 1) pro λ = 532 nm,

b) pro λ = 555 nm nabývá funkce V˝(λ) hodnoty V˝(555) = 0,903 5.

 

Maximální hodnota K˝_m průběhu světelného účinku K˝(λ) záření, odpovídající funkci V˝(λ) pro 0,1 cd·m^–2, se pak vypočítá podle vztahu (3.9) z výrazu K˝_m = 683/0,903 5 = 756 lm·W^–1.

 

Dosazením získaných výsledků do vztahu (3.10) lze již pro jednotlivé vlnové délky λ určit hodnoty veličin K˝(λ). Nalezené spektrální průběhy hodnot světelných účinků záření K˝(λ) pro jasy L_a = 1 cd·m^–2 a La = 0,1 cd·m^–2 jsou spolu s průběhy funkce K(λ) pro fotopické vidění a funkce K´(λ) pro skotopické vidění nakresleny na obr. 3.2.

 

Výsledky příkladu znázorněné na obr. 3.2 dokumentují jednak splnění výchozího předpokladu o stejné hodnotě (683 lm·W^–1) všech průběhů světelných účinků záření pro záření vlnové délky λ_m = 555 nm, jednak nárůst hodnot maxim jednotlivých průběhů a jejich posun ke kratším vlnovým délkám s poklesem hodnot adaptačních jasů.

 

Světelný tok Φ záření složeného z různých monochromatických záření, jehož zářivý tok Φ_e je dán průběhem Φ_e (λ), se zjistí z rovnice

 

(3.11)

 

Světelný tok Φ složeného záření Φ_e(λ) lze zjednodušeně určit takto: Spektrum vlnových délek viditelného záření se rozdělí na dostatečný počet n malých úseků Δλ. V grafu spektrálního průběhu zářivého toku Φ_e(λ)se pro střední hodnoty vlnových délek λ_i jednotlivých úseků Δλ_iodečtou hodnoty zářivých toků a hodnoty poměrné světelné účinnosti záření V(λ_i) z průběhu V(λ) na obr. 3.1. Rovnice (3.11) pak má tvar

 

(3.12)

 

Z uvedeného vyplývá, že světelný tok je vlastně zářivý tok zhodnocený zrakovým orgánem normálního fotometrického pozorovatele, a to obvykle při fotopickém vidění.

 

Podobně jako jsou pro monochromatické záření určeny veličiny K(λ) a V(λ), definují se pro složené záření pojmy světelný účinek záření

 

K = Φ/Φ_e (lm·W^–1; lm, W)      (3.13)

 

a poměrná světelná účinnost složeného záření

 

V = K/K_m (–; lm·W^–1, lm·W^–1)     (3.14)

 

Důležitou geometrickou veličinou používanou ve světelnětechnických výpočtech je prostorový úhel. Jeho velikost je určena velikostí plochy vyťaté obecnou kuželovou plochou na povrchu jednotkové koule, jejíž střed (vrchol prostorového úhlu) je totožný s vrcholem uvažované kuželové plochy. Jednotkou prostorového úhlu je steradián (sr), určený jednotkovou plochou (1 m^{2Ω , pod nímž je ze středu koule o poloměru r vidět plocha A vyťatá na povrchu této koule, se stanovuje ze vztahu}) na povrchu jednotkové koule (o poloměru 1 m). Prostorový úhel

 

Ω = A/r² (sr; m², m)     (3.15)

 

Největší hodnoty, a to Ω_max = 4π, nabývá prostorový úhel pro plochu A rovnou povrchu celé koule, tj. A = 4πr².

 

Elementární ploška dA je z bodu P, umístěného podle obr. 3.3 ve vzdálenosti l, vidět pod prostorovým úhlem dΩ

 

dΩ = (dA cos ß)/l² (sr; m², m)     (3.16)

 

kde β je úhel, který svírá osa prostorového úhlu dΩ , tj. paprsek l s normálou N_dA plošky dA.

 

Celá plocha A na obr. 3.3 je z bodu P vidět pod prostorovým úhlem, který je roven součtu prostorových úhlů, pod nimiž jsou z bodu P vidět jednotlivé dílčí plošky, na které se plocha A rozdělí. Běžně se rozměry dílčích plošek ΔA_ivolí tak, aby byly v podstatě zanedbatelné (např. alespoň 1/5) v porovnání se vzdáleností l_ibodu P od uvažované plošky. Pak se prostorový úhel Ω_i, pod nímž je z bodu P vidět dílčí ploška ΔA_i, vypočítá v souladu s rovnicí (3.16) z výrazu Ω_i= ΔA_icos β_il_i^–2.

 

Jsou-li hodnoty Ω_i< 0,125 6 sr, je chyba výpočtu menší než 1 %.

 

Při nerovnoměrném rozložení světelného toku zdroje či svítidla do různých směrů prostoru je třeba kromě hodnoty úhrnného světelného toku znát ještě prostorovou hustotu světelného toku v různých směrech, tj. svítivost zdroje, popř. svítidla, v těchto směrech. Svítivost I_γζsvítidla ve směru určeném např. úhly γ, ζ je jako prostorová hustota vyzařovaného světelného toku rovna světelnému toku obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu, a je tedy dána vztahem

 

I_γζ = dΩ/dΩ_γζ(cd; lm, sr)     (3.17)

 

kde dΩ_γζje prostorový úhel, jehož osa leží ve směru určeném úhly γ, ζ a v jehož mezích uvažovaný zdroj či svítidlo vyzařuje tok dΦ.

 

Svítivost se stanovuje podle vztahu (3.17) pro zdroj či svítidlo ležící ve vrcholu prostorového úhlu dΩ_γζ, tedy teoreticky v jednom bodě. Proto je svítivost definována pouze pro zdroj bodový, resp. pro svítidlo bodového typu, tj. pro takový zdroj či svítidlo, jehož vyzařovací plocha má rozměry zanedbatelné v porovnání se vzdáleností kontrolního bodu od vrcholu prostorového úhlu dΩγζ. Při běžných výpočtech se tedy uvažuje, že vyzařovací plocha takového svítidla je soustředěna do zmíněného vrcholu prostorového úhlu dΩ_γζ, tedy do bodu, který představuje světelný střed uvažovaného bodového zdroje, resp. svítidla bodového typu.

Střední hodnota svítivosti svítidla bodového typu je určena poměrem celkového světelného toku svítidla a prostorového úhlu, do kterého svítidlo vyzařuje. Zjistí-li se hodnoty svítivosti svítidla ve všech směrech prostoru a nanesou-li se prostorově od světelného středu zdroje jako rádiusvektory, dostane se spoje ním všech koncových bodů těchto rádiusvektorů fotometrická plocha svítivosti. Při výpočtech obvykle postačuje znát jen některé řezy touto plochou, a to rovinami procházejícími bodovým zdrojem a vztažným směrem svítivosti. V rovinách řezů tak vzniknou čáry (křivky) svítivosti v polárních souřadnicích (např. viz obr. 3.4). Počátek diagramu svítivosti se umísťuje do světelného středu zdroje či svítidla. Základní či vztažný směr diagramu svítivosti I₀ (viz obr. 3.4), od něhož se měří úhly, se obvykle umísťuje do směru normály k hlavní vyzařovací ploše zdroje či svítidla. Jednotlivé křivky svítivosti se získávají měřením na goniofotometrech a výrobci svítidel, popř. světelných zdrojů, je uvádějí v dokumentaci.

 

Aby křivky svítivosti svítidel udávané v katalozích byly nezávislé na skutečném světelném toku použitých světelných zdrojů, přepočítávají se diagramy svítivosti na světelný tok zdroje 1 000 lm. Skutečná svítivost I_γsvítidla se zdrojem, jehož tok je Φ_z, se pak určí vynásobením svítivosti I´_γpřečtené z diagramu svítivosti pro 1 000 lm poměrem Φ_z/1 000.

 

Prostorové rozložení svítivosti by bylo možné znázornit také popsáním bodů na povrchu jednotkové koule (se středem ve světelném středu uvažovaného zdroje) hodnotami svítivosti odpovídajícími směru spojnice světelného středu s daným bodem na povrchu koule. Poloha jednotlivých bodů na povrchu koule, a tím i uvažovaný směr v prostoru, se určuje v síti rovnoběžek a poledníků. Spojením bodů stejných hodnot svítivosti na povrchu koule vzniknou čáry nazývané izokandely. Nakreslením sítě izokandel se získá izokandelový diagram. Vytvoření prostorové soustavy souřadnic je však obtížné, a proto se v praxi využíval některý ze způsobů zobrazení povrchu koule, popř. polokoule v rovině. Ve starších podkladech je možné se setkat s tzv. sinusoidálním zobrazením povrchu polokoule do rovinného diagramu. Plochy uzavřené jednotlivými izokandelami jsou v sinusoidálním diagramu rovné prostorovým úhlům, do nichž zdroj (svítidlo) vyzařuje se svítivostí odpovídající dané izokandele. Proto je možné takové diagramy využít ke stanovení světelného toku zdrojů, popř. svítidel.

 

Osvětlenost (intenzita osvětlení) E rovinné plošky dA, tj. plošná hustota světelného toku dΦ_d dopadlého na plošku dA, je určena vztahem

 

E = dΦ_d/dA (lx; lm, m²)     (3.18)

 

Osvětlenost plošky dA se často nazývá osvětlenost v bodě, jehož elementární okolí v uvažované rovině tvoří ploška dA.

 

Jednotkou osvětlenosti je lux (lx), rozměr jednotky 1 lx je 1 lm·m^–2.

 

Osvětluje-li se bodovým zdrojem Z ze vzdálenosti l ploška dA tvořící okolí bodu P v rovině ρ (obr. 3.5) a svírá-li normála N_ρroviny ρ úhel β s paprskem l, lze s využitím rovnic (3.18), (3.17) a (3.16 ) odvodit pro osvětlenost E_Pρv bodě P roviny ρ bodovým zdrojem výraz

 

E_Pρ = (I_γ /l²) cos β (lx; cd, m, –)     (3.19)

 

kde je I_γsvítivost bodového zdroje Z ve směru paprsku l, tj. ve směru pod úhlem γ od zvoleného směru vztažné svítivosti I₀.

 

Z rovnice (3.19) vyplývá, že osvětlenost bodovým zdrojem je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti osvětlované plochy od zdroje (tzv. zákon čtverce vzdálenosti) a přímo úměrná kosinu úhlu β dopadu světelných paprsků (Lambertův kosinusový zákon). Největší je tedy osvětlenost plošky dA ve směru normály N_ρ (dA ⊥ l), tj. tzv. normálová osvětlenost E_N, pro niž platí

 

E_Pρ(β=0) = E_N = I_γ /l² (lx; lx; cd, m)     (3.20)

 

Z uvedeného plyne, že osvětlenost je veličina, která je funkcí jak bodu, tak i orientovaného směru.

 

K získání lepšího přehledu o rozložení hladiny osvětlenosti v bodech pracovní či srovnávací roviny je možné síť kontrolních bodů v uvažované rovině popsat zjištěnými hodnotami osvětlenosti, popř. ještě pospojovat body stejných osvětleností, a nakreslit tak čáry nazývané izoluxy. Soubor izolux vytváří izoluxní plán. Někdy se rozložení osvětlenosti znázorňuje prostorově v axonometrickém zobrazení.